Avem o dublă inegalitate:
[tex]\it \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{7}{8}\cdot\ ...\ \cdot \dfrac{49}{50}\ <\ \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{6}{7}\cdot \dfrac{8}{9}\cdot\ ...\ \cdot \dfrac{50}{51}\\ \\ \\ \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{6}{7}\cdot \dfrac{8}{9}\cdot\ ...\ \cdot \dfrac{50}{51}\ <\ \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{7}{8}\cdot \dfrac{9}{10}\cdot\ ...\ \cdot \dfrac{51}{52}[/tex]
În prima inegalitate, comparăm prima fracție din membrul stâng
cu prima fracție din membrul drept:
[tex]\it \dfrac{1}{2}<\dfrac{2}{3} \Leftrightarrow\ 1\cdot3<2\cdot2\Leftrightarrow 3<4\ \ \ (A)[/tex]
Comparăm a doua fracție din membrul stâng
cu a doua fracție din membrul drept:
[tex]\it \dfrac{3}{4}<\dfrac{4}{5} \Leftrightarrow 3\cdot5<4\cdot4 \Leftrightarrow 15<16\ \ \ (A)[/tex]
În general, există k natural nenul, astfel încât se pot compara fracțiile:
[tex]\it \dfrac{k-1}{k}<\dfrac{k}{k+1} \Leftrightarrow (k-1)(k+1)<k\cdot k \Rightarrow k^2-1<k^2\ \ \ \ (A)[/tex]
Așadar, pentru fiecare factor din membrul stâng, există
un factor corespunzător în membrul drept, între care se
stabilește relația "<".
Rezultă că produsul factorilor din membrul stâng va
fi în relația "<" față de produsul factorilor din membrul drept.
