În figura de mai jos, triunghiul ABC este isoscel de bază BC. Ştiind că raza cercului are lungimea de 10 cm, iar BC = 16 cm, calculaţi perimetrul și aria triunghiului ABC. ​

Explicație pas cu pas:

Aplicam Teorema sinusurilor :

BC/ sin A =2*R

sinA=BC/2*R =16/20=4/5

cosA=radical(1-16/25)=3/5

Aplicam Teorema cosinusurilor:

BC²=2*AB²-2*AB²*3/5

BC²=2AB²(1-3/5)

BC²=2AB²*2/5

BC²=4AB²/5

BC=2AB/radical5

AB=BCradical5/2

AB=16radical5/2=8radical5

P=2*8radical5+16=16(1+radical5) cm

A=AB²*sinA/2=128(cm²)

Bafta!

Ducem AD, mediatoarea laturii BC, care trece prin centrul cercului.

ΔABC -  isoscel ⇒ AD - mediană și înălțime.

OA = OB = R = 10cm

BD = CD = 16:2 = 8cm

ΔDOB - pitagoreic, (6,  8,  10) ⇒ OD = 6 cm

AD = 10+6 = 16cm

[tex]\it \mathcal{A}=\dfrac{BC\cdot AD}{2}=\dfrac{16\cdot16}{2}=128\ cm^2[/tex]

Cu teorema lui Pitagora în ΔDAB ⇒ AB = 8√5 cm, deci:

AC = AB = 8√5 cm

[tex]\it \mathcal{P}=BC+AB+AC=16+8\sqrt5+8\sqrt5=16+16\sqrt5=16(1+\sqrt5)\ cm[/tex]