Răspuns:
f(x) > 0 pentru x∈ (-∞, -√5) ∪ (√5, +∞)
f(x) < 0 pentru x ∈ (-√5, -2) ∪ (2, √5)
Explicație pas cu pas:
Din condiția de existență a logaritmului avem:
x²-4>0 de unde x²>4 adică x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, +∞) (1)
Baza logarimtului fiind mai mare decât 1, rezultă:
pentru x²-4 > 1 functia f(x) este pozitivă
pentru x²-4 < 1 funția f(x) este negativă.
Avem 2 inecuații:
a) x²-4 > 1 ⇔ x² > 5 ⇒ x∈ (-∞, -√5) ∪ (√5, +∞) (2)
verificăm respectarea condiției de la punctul (1) - nu există restricții
Așadar, pentru x∈ (-∞, -√5) ∪ (√5, +∞) , funcția f(x) este pozitivă
b) x²-4 < 1 ⇔ x² < 5 ⇒ x∈ (-√5, √5) (3)
verificăm respectarea condiției de la punctul (1) și apare o restricție, și anume: x nu poate lua valori în intervalul (-2, 2)
Asta ănseamnă că intervalul de la punctul (3) devine:
x ∈ (-√5, -2) ∪ (2, √5) - în acest interval funcția f(x) este negativă
Tabelul de semne:
x -∞ -√5 -2 0 2 √5 +∞
x²-4 > 1 1 0 -------------- 0 1 >1
log₅ (x²-4) __+++++++++0 -------- nu este definită _-------- 0++++++++++++
