Se considera matricele A=(2 -2 1 -1) apartin m2(R) si B=A+2A+3A²+...+2020A²⁰¹⁹ aprtin M2(R).
a) Sa se arate ca A³=A
b)Sa se arate ca det b=0
c)Sa se arate ca A×B=B×A​

Răspuns:

A3=A=(2 -2 1 -1)

Explicație pas cu pas:

a) A3=A2*A

A2=A*A=(2  -2)   *  (2  -2)   =   ( 2   -2)

               (1   -1)       (1   -1)        ( 1     -1)

A3=A=(2 -2 1 -1)

b) B=A+2A+3A+...+2020A=A*(1+2+3+...+2020)

B=2020*2021/2 * A = 1010*2021*A

det A = 2*1-(-2)*(-1)=0

=>det B=0

c)A*B=B*A

(=) A*(A+2A+3A²+...+2020A²⁰¹⁹)=(A+2A+3A²+...+2020A²⁰¹⁹)*A

(=) A²+2A²+3A³+...+2020A^2020=A²+2A²+3A³+...+2020A^2020

(=) 2020*2021/2 * A = 2020*2021/2 * A

(=) A = A